هوش مصنوعی فرضیه ۵۰ ساله پال اردوش، ریاضیدان مطرح را باطل کرد
کمتر از یک هفته پس از ابطال مسئله 80 ساله اردوش با کمک هوش مصنوعی، ریاضیدانان با الهام از همین روش، حدس اضافه و محصول را نیز نقض کردند.
کمتر از یک هفته پس از آنکه یک مدل هوش مصنوعی منتشرنشده از OpenAI یک فرضیه 80 ساله را نقض کرد و جامعه ریاضی را شگفت زده کرد، مشکل دیگری که نیم قرن دست نخورده باقی مانده بود زیر سوال رفت. این بار توسط محققانی که از همین تکنیک هوش مصنوعی الهام گرفته بودند.
هفته گذشته، مدل هوش مصنوعی OpenAI فرضیه «مسئله فاصله واحد» را که توسط ریاضیدان مجارستانی پل اردوس پیشنهاد شده بود، باطل کرد. مسئله ای که اردوش از آن به عنوان «بزرگترین سهم خود در هندسه» یاد کرد و بسیاری از ریاضیدانان سال ها نتوانسته بودند آن را حل کنند. این مشکل در مورد حداکثر تعداد اتصالات هم اندازه است که می توان بین نقاط روی یک سطح صاف ایجاد کرد.
اردوش برای این عدد سقف عددی پیشنهاد کرد که اکثر کارشناسان آن را صحیح می دانستند. اما مدل هوش مصنوعی OpenAI نشان داد که این عدد می تواند بسیار بیشتر باشد. ابزار مورد استفاده یک ترفند کمتر شناخته شده از تئوری اعداد جبری بود که ساختارهای پیچیده ای را در ابعاد بسیار بالا ایجاد می کند و ترتیبی از نقاط را به دست می دهد که کاملاً متفاوت از آنچه انسان ها در نظر داشتند. نتیجه برای بسیاری از ریاضیدانان شگفت انگیز بود. برخی حتی انتظار نداشتند که فرضیه اردوگاه او در طول عمرشان رد شود.
به گزارش نیوساینتیست، اکنون کمتر از یک هفته بعد، توماس بلوم از دانشگاه منچستر و همکارانش فرضیه معروف دیگری از اردوگاه خود را که در سال 1976 ارائه کرده بود، باطل کرده اند: حدس اضافه و محصول، با استدلالی مشابه.
بلوم می گوید: «تعجب آور بود، زیرا من خیلی به آن فکر کرده بودم. پس از اینکه OpenAI یک مسئله هندسی را بر اساس تئوری اعداد حل کرد، بلوم و همکارانش تصمیم گرفتند از همین رویکرد برای بررسی جمع و حدس محصول استفاده کنند. او میافزاید: «وقتی میدانی چیزی ممکن است، آمادهای سختتر تلاش کنی تا واقعاً آن را محقق کنی».
حدس حاصل و جمع اردوش در مورد مجموعه اعداد است. این حدس می گوید که اگر تمام اعداد یک مجموعه را به صورت جفت جمع کنید تا یک مجموعه جدید از نتایج بدست آورید و همچنین همه آنها را به صورت جفت ضرب کنید تا مجموعه دیگری بسازید، حداقل یکی از این دو مجموعه باید بسیار بزرگتر از مجموعه اصلی باشد. یعنی امکان ندارد هر دو مجموعه به طور همزمان اندازه نسبتا کوچکی داشته باشند.
به عنوان مثال، اگر اعداد 1 تا 5 را در نظر بگیرید، مجموعه ضرب های مضاعف بزرگتر از مجموعه دو برابر خواهد بود. زیرا در حالت جمع، نتایج مکرر تولید می شود. به عنوان مثال 2+3 و 1+4 هر دو برابر با 5 هستند اما اگر مجموعه ای مانند 1، 2، 4، 8 و 16 را در نظر بگیریم، این بار مجموعه جمع ها بزرگتر می شود، زیرا مجموعه ضرب ها فقط شامل توان های مختلف 2 می شود.
اردوش حدس زد که برای هر مجموعه ای از اعداد، هم تعداد جمع های متمایز و هم تعداد ضرب های متمایز را نمی توان همزمان خیلی کم نگه داشت. به عبارت دیگر، حداقل یکی از این دو مجموعه باید از حد معینی بزرگتر باشد. اما بلوم و همکارانش با استفاده از همان ترفند فضاهای چند بعدی، مجموعه ای را یافتند که مجموع و ضرب آن کوچکتر از آن چیزی بود که اردوش تصور می کرد. آنها نشان دادند که به جای استفاده از یک تصاعد هندسی ساده مانند توان های 2، می توان به طور همزمان اعداد را در ابعاد مختلف ایجاد کرد. روشی که مجموعه ای را تولید می کند که تعداد مجموعه های متمایز قابل تولید از آن بسیار کمتر است.
بلوم می گوید: «چیزی که واقعاً مرا شگفت زده کرد، سادگی روش بود. ساختار آن به قدری ساده است که می توان آن را به راحتی توضیح داد و اکنون ما واقعاً دلیل آن را درک می کنیم. [حدس اردوش] شکست می خورد؛ موضوعی که احتمالاً به حل بسیاری از مسائل مرتبط دیگر کمک خواهد کرد.»
میشا رودنوف از دانشگاه بریستول می گوید: «این یک نمونه معمولی از ریاضیات به عنوان یک رقابت فکری است. به محض اینکه ایده جدیدی مطرح می شود، برخی افراد حاضرند شبانه روز روی آن کار کنند تا کاربردهای بیشتری برای آن پیدا کنند و معمولا این افراد بسیار توانا و سریع هستند.
رودنوف میگوید شهود اولیه اردوگاه او این بود که این حدس باید بیشتر برای اعداد صحیح باشد، و هنوز هم به نظر میرسد. زیرا مجموعه ای که بلوم و همکارانش پیدا کردند از دستگاه های عددی غیر متعارف استفاده می کند که با بزرگتر شدن مجموعه پیچیده تر می شوند. بلوم موافق است که این حدس هنوز برای اعداد صحیح صادق است و میگوید: «هنوز کار زیادی برای انجام دادن وجود دارد؛ «ما واقعاً نمیدانیم که دقیقاً چه اتفاقی میافتد».
بلوم میگوید مهمترین نتیجه اثبات این است که مسائلی که در نگاه اول ماهیتی هندسی دارند، مانند مجموعههای متشکل از توان دوم 2، در واقع با ابزار نظریه اعداد قابل بررسی هستند. او می گوید: «این درب را به روی جامعه کاملاً جدیدی از محققان در این موضوعات باز می کند. محققان نظریه اعداد جبری پیش از این چندان درگیر این سؤالات نبودند.
یافته های این تیم در آرشیو موجود است.
منبع: زومیت
