پایان نامتناهی؛ چرا برخی ریاضیدانان با مفهوم بینهایت مخالف هستند؟
زومیت: بی نهایت یک مفهوم کلیدی در ریاضیات مدرن است، با این حال برخی از ریاضیدانان هنوز به آن اعتقاد ندارند.
یکی از سوالاتی که هزاران سال است ذهن انسان را به خود مشغول کرده است این است که آیا بی نهایت واقعا وجود دارد؟ بیش از ۲۳۰۰ سال پیش، ارسطو بین دو نوع بی نهایت تمایز قائل شد: بی نهایت بالقوه و بی نهایت بالفعل. نوع اول مربوط به حالات روانی است که از تکرار یک فرآیند حاصل می شود. به عنوان مثال، اگر از شما خواسته شود برای همیشه بشمارید و هر بار یک واحد به عدد قبلی اضافه کنید، این یک بی نهایت بالقوه است. اما طبق نظر ارسطو، بی نهایت های واقعی نمی توانند در دنیای واقعی وجود داشته باشند.
تا اواخر قرن نوزدهم، بیشتر ریاضیدانان از مفهوم بی نهایت اجتناب می کردند، زیرا نمی دانستند چگونه با این مقادیر عجیب کار کنند. مثلاً مجموع بی نهایت با یک یا حاصل ضرب دو بی نهایت چقدر است؟ اما گئورگ کانتور، ریاضیدان آلمانی، با ارائه نظریه مجموعه ها به این تردیدها پایان داد.
کانتور اولین نظریه ریاضی را پایه گذاری کرد که امکان پرداختن به مقادیر بی نهایت را فراهم می کرد. از آن زمان، بی نهایت ها به بخشی جدایی ناپذیر از ریاضیات تبدیل شده اند. در مدارس با مجموعه ای از اعداد طبیعی یا حقیقی که همگی دارای تعداد نامتناهی عضو هستند و همچنین اعداد گنگ مانند پی (π) یا جذر ۲ که دارای بی نهایت ارقام اعشاری هستند، آشنا می شویم.
با این حال، هنوز عده ای به نام فینیتیست هستند که وجود بی نهایت را رد می کنند. آنها استدلال می کنند که از آنجایی که همه چیز در جهان ما (از جمله منابع برای انجام محاسبات) محدودیتی دارد، استفاده از بی نهایت در محاسبات بی معنی است. برخی از کارشناسان حتی شاخه ای جایگزین از ریاضیات را پیشنهاد کرده اند که تنها بر کمیت های قابل ساخت در چارچوبی محدود متکی است. اکنون برخی از محققان در تلاش هستند تا این ایده ها را در فیزیک نیز به کار ببرند، به این امید که نظریه های بهتری برای توصیف جهان ما بیابند.
نظریه مجموعه ها و مفهوم بی نهایت
ریاضیات مدرن مبتنی بر نظریه مجموعه ها است. همانطور که از نام آن پیداست، این نظریه با گروه بندی هایی به نام “مجموعه ها” سروکار دارد. شما می توانید مجموعه ای را به عنوان کیسه ای در نظر بگیرید که می توانید انواع مختلفی از اشیاء (مانند اعداد، توابع یا موجودیت های دیگر) را در آن قرار دهید. با مقایسه محتویات دو کیسه می توان اندازه آنها (تعداد اعضا) را اندازه گیری کرد. اگر بخواهیم بدانیم کدام کیسه بزرگتر است، می توانیم همزمان از هر کیسه یک شی را برداریم و ببینیم کدام یک ابتدا خالی است.
در آغاز قرن بیستم، ریاضیدانانی به نام ارنست تسرملو و آبراهام فرانکل نظریه مجموعه ها را به عنوان پایه ای برای تمام ریاضیات پیشنهاد کردند. پیش از آن شاخه هایی مانند هندسه، تحلیل، جبر و احتمال در بسیاری از موارد از یکدیگر جدا شده بودند. تزرملو و فرانکل مجموعه ای از ۹ اصل اساسی به نام بدیهیات (اصل موضوع) را گردآوری کردند که اساس ریاضیات امروزی را تشکیل می دهند.
یکی از این اصول وجود مجموعه پوچ است، یعنی فرض بر این است که مجموعه ای وجود دارد که هیچ عنصری مانند کیسه خالی ندارد. هیچ کس مخالف این ایده نیست. اما یکی دیگر از این اصول وجود مجموعه های نامتناهی را تضمین می کند و اینجاست که متناهی ها با هم اختلاف نظر دارند. آنها می خواهند بدون این اصل ریاضیات بسازند. یعنی ریاضیات متناهی.
رویای ریاضیات متناهی
فینیتیست ها بی نهایت را نه تنها به دلیل منابع محدود دنیای واقعی، بلکه به دلیل پیامدهای غیرقابل قبول نظریه مجموعه ها رد می کنند. به عنوان مثال، طبق پارادوکس Banach-Tarski، یک کره را می توان به قطعات تقسیم کرد و سپس به گونه ای تنظیم کرد که دو کره هم اندازه کره اصلی به دست آید! از نظر ریاضی این امکان وجود دارد، اما در دنیای واقعی امکان پذیر نیست.
مفهوم توصیف شده ممکن است پیچیده به نظر نرسد و حتی کودکان نیز می توانند آن را درک کنند. اما کانتور متوجه شد که همین روش را می توان برای مقادیر بی نهایت نیز اعمال کرد. او با استفاده از نظریه مجموعه ها به این نتیجه رسید که بی نهایت ها می توانند اندازه های متفاوتی داشته باشند. بی نهایت همیشه با بی نهایت برابری نمی کند و برخی از بی نهایت ها بزرگتر از بقیه هستند.
محدود گرایان می گویند: اگر این اصول منجر به چنین نتایجی شود، در آن اشتباه است. از آنجایی که بیشتر این بدیهیات بدیهی به نظر می رسند، تنها بدیهی که به نظر می رسد با عقل سلیم در تضاد است، بدیهیات مجموعه های نامتناهی است.
دیدگاه آنها به صورت زیر خلاصه می شود: “یک شیء ریاضی تنها زمانی وجود دارد که بتوان آن را با تعداد محدودی از مراحل اعداد طبیعی ساخت.” بر این اساس، حتی اعداد گنگ مانند جذر ۲ (که با فرمول های خاص به دست می آیند) قابل قبول نیستند، زیرا شامل مجموع نامتناهی هستند و بنابراین در ریاضیات متناهی نمی گنجند.
در نتیجه برخی از اصول منطقی مانند اصل رد بند سوم ارسطو که می گوید هر گزاره ریاضی یا درست است یا نادرست دیگر قابل اجرا نیست. در متناهی، یک گزاره ممکن است در یک لحظه معین «نامعین» باشد، برای مثال، اگر مقدار عددی آن هنوز تعیین نشده باشد. به عنوان مثال در مورد عدد ۰.۹۹۹ … اگر کل دوره تکرار را تا بی نهایت ادامه دهیم، نتیجه برابر با ۱ می شود. اما اگر بی نهایت نباشد، این برابری دیگر قابل قبول نیست.
جهان مبتنی بر ریاضیات محدود؟
بدون اصل حذف بند سوم، اثبات بسیاری از قضایای ریاضی مشکل خواهد بود، زیرا بخش بزرگی از آنها بر این اصل تکیه دارند. بنابراین جای تعجب نیست که فقط تعداد کمی از ریاضیدانان خود را وقف محدودیت گرایی کرده اند. ریشه بی نهایت ریاضی را پیچیده تر می کند.
با این حال، برخی از فیزیکدانان، از جمله نیکولا گیسن از دانشگاه ژنو، به این فلسفه تمایل دارند. او امیدوار است که دنیای اعداد متناهی بتواند توصیف بهتری از جهان ما ارائه دهد. او فرض میکند که فضا و زمان فقط میتوانند حاوی مقدار محدودی اطلاعات باشند. بنابراین، انجام محاسبات با اعداد بی نهایت بزرگ یا طولانی بیهوده است. چون جایی برای آنها در دنیا نیست.
گرچه راه تناهی هنوز در مراحل ابتدایی است، اما جذابیت زیادی دارد. به خصوص که به نظر می رسد فیزیک مدرن در برخی مسائل اساسی مانند پیدایش جهان یا نحوه تعامل نیروهای بنیادی به بن بست رسیده است. شاید شروع از نقطه ای متفاوت در ریاضیات بتواند افق جدیدی را بگشاید. علاوه بر این، علاقه زیادی به این سوال وجود دارد که اگر برخی از مفروضات اساسی را تغییر دهیم، ریاضیات تا کجا می تواند پیش رود. شاید شگفتی هایی در قلمرو محدود ریاضیات وجود داشته باشد.
در نهایت، همه چیز به یک سوال اساسی ختم می شود: آیا شما به بی نهایت اعتقاد دارید یا نه؟ و همه باید پاسخ را پیدا کنند.
