ریاضیدانان بدترین روش ممکن برای آویزان کردن یک تابلو را پیدا کردند
زومیت: یک سوال ساده در مورد آویزان کردن یک نقاشی سالهاست که ریاضیدانان را آزار میدهد: آیا میتوان با برداشتن هر ناخن، نقاشی را به زمین انداخت؟
مشکل آویزان کردن نقاشی با یک سوال ساده شروع شد: آیا می توان نخ پشت نقاشی را طوری دور ناخن ها پیچید که در هنگام برداشتن ناخن ها رفتار خاصی داشته باشد؟ این مشکل در سال ۱۹۹۷ توسط A. Spivak پیشنهاد شد و بعداً به خانواده ای از مسائل ریاضی به نام “مسائل آویزان تخته” تبدیل شد.
در نسخه اصلی، هدف این است که نخ را طوری طراحی کنیم که هر دو گیره برای نگه داشتن تخته ضروری باشند و با برداشتن هر یک، نحوه آویزان شدن تخته تغییر خواهد کرد. با افزایش تعداد ناخن ها، مشکل پیچیده تر می شود. زیرا نخ باید برای تمام ترکیبات ممکن از برداشتن ناخن به درستی عمل کند.
ریاضیدانان ثابت کردهاند که میتوان یک آرایش رشتهای برای هر مسئله «k از n» پیدا کرد، اما یافتن کوتاهترین راهحل بسیار دشوار است. در مسئله «۲ از ۴»، محققان با کمک الگوریتمهای کامپیوتری ثابت کردند که حداقل ۱۶ چرخش نخ برای حل این مشکل ضروری است.
فرض کنید می خواهید یک نقاشی را با نخی به دو میخ آویزان کنید. ساده ترین راه این است که نخ را روی هر دو ناخن بکشید. در این حالت، اگر یکی از میخ ها را از دیوار بیرون بکشید، معمولاً علامت همچنان از میخ دیگر آویزان می شود.
اما ریاضیدانان سالهاست که نسخه عجیبتری از این مسئله ساده را مطالعه میکنند: آیا میتوان نخ را بهگونهای حساب شده دور دو میخ پیچاند که با برداشتن هر یک از آنها، کل سیستم از هم جدا شود و نقاشی سقوط کند؟ این سوال در سال ۱۹۹۷ توسط A. Spivak مطرح شد که به زودی به خانواده ای از مسائل ریاضی تبدیل شد که امروزه به عنوان “مسائل تخته آویزان” شناخته می شوند.
مسئله ساده و حتی سرگرم کننده به نظر می رسد، اما پشت آن مجموعه ای از ایده های جدی در ریاضیات نهفته است، از نظریه گره و نظریه گروه گرفته تا نظریه گراف و منطق بولی.
مشکل آویزان کردن تخته چیست؟
در ساده ترین حالت، دو میخ روی دیوار داریم و یک رشته به پشت تخته متصل شده است. هدف این نیست که فقط تخته را محکم آویزان کنید. برعکس باید نخ را طوری دور ناخن بپیچیم که هر دو میخ برای نگه داشتن تخته لازم باشد. یعنی اگر میخ اول برداشته شود پانل می افتد و اگر میخ دوم خود به خود جدا شود پانل دوباره می افتد.
نکته اصلی در اینجا این است که رشته نباید تنها به دو تکیه گاه مستقل وصل شود. مسیر آن باید به گونه ای طراحی شود که برداشتن هر میخ، کل آرایش نخ را باز کند. این مشکل را می توان با چند حلقه و پیچ ساده حل کرد، اما زمانی که تعداد میخ ها زیاد شود، وضعیت بسیار پیچیده تر می شود.
تام ورهوف، دانشمند بازنشسته کامپیوتر، این نوع مسائل را در کارگاهی برای دانشجویان بررسی کرد. شرکت کنندگان با نخ و کارابین واقعی آزمایش کردند، اما در عین حال سعی کردند مشکل را به زبان ریاضی توصیف کنند.
بعدها ریاضیدانان نسخه کلی تری از این مسئله را ارائه کردند که به عنوان “k of n” شناخته می شود. در این حالت n تعداد کل میخ ها و k تعداد میخ هایی است که باید برای افتادن تخته برداشته شوند. مثلاً در مسئله «۲ در ۴» چهار میخ روی دیوار وجود دارد و نخ باید به گونه ای پیچیده شود که برداشتن هر دو میخ از چهار میخ باعث ریزش تخته شود. در همان زمان، اگر فقط یک میخ برداشته شود، پانل همچنان باید آویزان شود. این شرایط کار را بسیار دشوار می کند، زیرا موضوع باید برای همه ترکیب های ممکن به درستی رفتار کند.
در سال ۲۰۱۲، ریاضیدانان در یک مقاله پیش چاپ نشان دادند که برای هر k از n مسئله می توان راه حلی پیدا کرد. به بیان ساده، از نظر ریاضی می توان آرایشی از نخ طراحی کرد که دقیقاً همان قانونی را که برای ریزش تابلو تعریف کرده ایم، اجرا کند.
اما وجود راه حل به معنای ساده یا کوتاه بودن راه حل نیست. برخی از روشهای شناختهشده به تعداد زیادی نخ دور میخ نیاز دارند و اگر بخواهیم چنین چیزی را در دنیای واقعی پیادهسازی کنیم، نتیجه بیشتر شبیه یک گره بزرگ و درهم به نظر میرسد تا یک روش منطقی برای نصب تخته. این مشکل ورهوف و دیگران را به پرسش دیگری سوق داد: کوتاه ترین راه حل ممکن چیست؟
برای یک پاسخ قطعی، او با جنس هویزولت، که در آن زمان دانشجوی دکترا بود، همکاری کرد. آنها از برنامه های کامپیوتری برای بررسی تمام ترتیبات کوتاه تر ممکن استفاده کردند. نتیجه این بررسی نشان داد که راه حلی با کمتر از ۱۶ پیچ وجود ندارد.
در نتیجه، ۱۶ چرخش حداقل مطلق برای حل مسئله “۲ از ۴” است.
این بخش از کار بسیار مهم است، زیرا یافتن راه حل کوتاه با اثبات این که راه حل کوتاه تری وجود ندارد متفاوت است. برای اثبات حداقل بودن، باید نشان داد که همه حالت های ممکن با ۱۵ پیچ یا کمتر شکست می خورند. کاری که بررسی دستی آن بسیار دشوار است و یک برنامه کامپیوتری می تواند کمک بزرگی باشد.
ورهوف ابتدا برنامه ای نوشت که توانست این مشکل را در حدود دو ساعت حل کند. Hoysault بعداً برنامه ای ایجاد کرد که همان کار را در حدود دو ثانیه انجام داد.
پاسخ این است که ریاضیدانان معمولاً فقط به ظاهر فیزیکی مسئله نگاه نمی کنند. برای آنها میخ ها و نخ ها ساختارهای انتزاعی را نشان می دهند.
مسیر نخ را می توان به عنوان یک عبارت ریاضی، یک نمودار، یک مسیر در یک شکل چند بعدی یا حتی یک ساختار منطقی نشان داد. به همین دلیل این مسئله به چند شاخه مهم ریاضی مربوط می شود.
یکی از زمینه های مرتبط، نظریه گروه است. در این شاخه از ریاضیات، محققان بررسی می کنند که چگونه مجموعه ای از عملیات های مختلف را می توان ترکیب کرد و چه قوانینی بر این ترکیب ها حاکم است.
در موضوع آویزان کردن تابلو، پیچیدن نخ به دور هر ناخن را می توان به یک اقدام خاص تبدیل کرد. ترتیب پیچ ها و جهت آنها نیز مهم است. وقتی یک میخ برداشته می شود، برخی از این عملیات ها عملاً برداشته می شوند و سؤال این است که آیا چیزی از آرایش نخ باقی می ماند یا اینکه کل آن از بین می رود. این ویژگی باعث می شود که مشکل مربوط به نظریه گروه ها باشد.
تئوری گره ها نیز طبیعی است که وارد داستان شود، زیرا اساس مسئله به نحوه پیچیدن و حلقه زدن نخ مربوط می شود. در نظریه گره، ریاضیدانان مطالعه میکنند که چگونه حلقهها و ریسمانها در هم میپیچند و تحت چه تغییراتی میتوانند باز یا تبدیل شوند.
یکی دیگر از جنبه های جالب مشکل این است که می توان یک چیدمان نخ مناسب برای مجموعه بزرگی از قوانین مختلف پیدا کرد.
فرض کنید ما چهار میخ داریم و می خواهیم تخته فقط در شرایط خاصی بیفتد. به عنوان مثال، ممکن است بخواهیم زمانی که هر دو میخ برداشته می شوند، سقوط کند، یا فقط زمانی که سه پایه خاص برداشته شوند، سقوط کند.
اما هر قانونی ممکن نیست. به عنوان مثال، نمی توان قاعده ای تعریف کرد که بگوید اگر فقط میخ A برداشته شود، رنگ می افتد، اما اگر هر دو ناخن A و ناخن B برداشته شوند، نقاشی دوباره آویزان می شود. دلیل ساده است: برداشتن ناخن های بیشتر نمی تواند به طور ناگهانی پشتیبانی جدیدی برای تخته ایجاد کند. اگر حذف الف برای سقوط کافی باشد، حذف الف و ب نیز باید موجب سقوط شود. در ریاضیات، این ویژگی به مفهوم توابع بولی یکنواخت مربوط می شود.
تابع بولی در ساده ترین شکل خود تابعی است که ورودی های آن فقط دو حالت دارند. مثلاً «بله یا نه»، «روشن یا خاموش» یا «میخ هست یا نه». خروجی دو حالت دارد. مثلاً «تخته می ماند» یا «تخته می افتد».
وقتی می گوییم یک تابع Boolean “یکنواخت” است، به این معنی است که اگر حذف تعداد معینی از میخ ها باعث افتادن آن شود، حذف گیره های بیشتر نمی تواند دوباره برد را ذخیره کند. این منطقی است که به طور طبیعی در موضوع آویختن تابلو وجود دارد.
جالبتر اینکه توابع بولی یکنواخت فقط ابزاری برای بازی با نخ و میخ نیستند و در زمینههایی مانند رمزنگاری، علوم کامپیوتر و نظریه رایگیری نیز استفاده میشوند. به عنوان مثال، در یک سیستم رای گیری می توان پرسید چه ترکیبی از آرا برای تصویب یک تصمیم کافی است. در یک سیستم امنیتی، ترکیبی از چندین شرط ممکن است برای اعطای دسترسی ضروری باشد. از این منظر، مسئله تخته یک مثال فیزیکی و عینی از ساختارهای پیچیده منطقی است.
با وجود تمام این ارتباطات، Verhoef معتقد است که ما حتی نیازی به یافتن یک برنامه فوری برای چنین مشکلی نداریم. بخش بزرگی از ریاضیات و علوم در ابتدا از روی کنجکاوی شکل گرفت. برخی از ایده ها که زمانی کاملاً نظری و بی فایده به نظر می رسیدند، سال ها یا دهه ها بعد به ابزار مهمی تبدیل شدند.
ورهوف این را با استعاره ای درباره آینده بشر توضیح می دهد. به گفته وی، ما دقیقا نمی دانیم در آینده با چه مسائلی مواجه خواهیم شد و به چه دانشی نیاز خواهیم داشت. به همین دلیل، بازی با ایده ها، طرح سؤالات عجیب و غریب و بررسی مسائلی که به نظر می رسد هیچ سود مستقیمی ندارند، بخشی از فرآیند یادگیری است.
مشکل آویزان کردن عکس نمونه خوبی از این نوع کنجکاوی است: یک سوال ساده در مورد چند میخ و یک تکه ریسمان که در نهایت به نظریه گروه ها، گره ها، نمودارها، هندسه چند بعدی، منطق و الگوریتم های کامپیوتری منجر می شود.
