ریاضیدانان پس از ۱۵ سال تلاش، عادلانهترین تاسهای جهان را ساختند
زومیت: پس از 15 سال تلاش، ریاضیدانان تاس هایی را طراحی کرده اند که می تواند ترتیب چرخش بازیکنان را به صورت کاملاً منصفانه تعیین کند.
گروهی از ریاضیدانان موفق به طراحی مجموعه ای متشکل از پنج تاس 60 وجهی شده اند که می تواند ترتیب چرخش بازیکنان را به شیوه ای کاملاً منصفانه تعیین کند. بدون امکان مساوی کردن نتیجه حتی برای یک حالت.
داستان این تاس ها از حدود سال 2010 و در یک شام دوستانه در حاشیه یک همایش بازی شروع شد. جیمز ارنست، طراح بازیهای رومیزی، از دوستش اریک هارشبرگر سوال سادهای پرسید: آیا میتوان مجموعهای از تاسها را طوری ساخت که در هر گروهی از بازیکنان، خواه دو یا چند بازیکن، هر نفر یک قالب را برداشته، پرتاب کند و دقیقاً شانس برنده شدن را داشته باشد؟
قانون بازی ساده بود: هرکسی که بیشترین تعداد را بدست آورد برنده است. اما چالش اصلی این بود که این عدالت باید برای هر تعداد بازیکن حفظ شود. بدون کراوات و بدون نیاز به پرتاب مجدد.
هارشبرگر، ریاضیدان دانشگاه آبرن در آلاباما، آن شب جوابی نداشت. اما این مشکل ذهن او را به خود مشغول کرد و در طی 15 سال بعد با گروهی از همکارانش به طور غیر رسمی روی آن کار کرد.
حالا دانشمندان بالاخره جواب را پیدا کردند: پنج تاس 60 وجهی که با هم تمام اعداد 1 تا 300 را بدون تکرار دارند. هارشبرگر برای ثبت این دستاورد، پنج نمونه چوبی بزرگ از این تاس ها ساخت. هر کدام از چوب متفاوتی ساخته شده اند و اکنون در ساختمان جدید ریاضی دانشگاه آبرن به نمایش گذاشته شده است.
در نگاه اول، حل مشکل ساده به نظر می رسد. ممکن است فکر کنیم کافی است روی هر وجه تاس اعداد مختلف بنویسیم تا نتایج تکرار نشود. اما مسئله اصلی چیز دیگری است. هارشبرگر می گوید: «مشکل واقعی این است که چگونه این اعداد را توزیع کنیم تا هر ترکیبی از بازیکنان شانس برابر داشته باشد.
فرض کنید ما پنج تاس داریم و پنج نفر می خواهند بازی کنند. هر نفر یک تاس برمی دارد و می اندازد. اما اگر فقط سه نفر بازی کنند چه؟ یا هشت نفر؟
تاس ها باید به گونه ای طراحی شوند که هیچ بازیکنی در هر شرایطی نسبت به دیگری برتری نداشته باشد. یعنی مهم نیست چند نفر بازی می کنند یا هر نفر چه تاس می گیرد. احتمال برنده شدن باید همیشه ثابت بماند.
هارشبرگر از ریاضیدان کالج ایالتی دالتون و دوست دوران کودکی رابرت فورد برای حل این مشکل کمک گرفت. چند هفته بعد، آنها توانستند اولین راه حل را پیدا کنند: سه تاس شش طرفه با اعداد 1-18 به روشی خاص که می تواند برای سه بازیکن کاملاً منصفانه باشد. فورد بعداً با محاسبات دستی نشان داد که چهار تاس 12 وجهی می توانند چهار بازیکن را به طور عادلانه پوشش دهند.
تا سال 2012، هارشبرگر در کنفرانس های ریاضی درباره این مجموعه چهار نفره صحبت می کرد و حتی رسانه ها نیز در مورد آن نوشتند. پس از آن افراد زیادی به این پروژه علاقه مند شدند. برای مدتی هارشبرگر مجموعه های دست ساز این تاس ها را تولید می کرد و آنها را از خانه برای خریداران در سراسر جهان ارسال می کرد.
اما بعدها، ریاضیدانان متوجه شدند که این تاس ها بیشتر از تعیین شخص اول هستند. آنها فقط تعیین نمی کنند که چه کسی برنده می شود. بلکه کل آرایش بازیکنان به صورت تصادفی و کاملاً مساوی تعیین می شود. به عنوان مثال، اگر چهار نفر بازی کنند، احتمال اینکه ترتیب نتیجه A، B، C، D باشد دقیقاً با احتمال هر ترتیب دیگر C، B، D، A برابر است.
به همین دلیل، نام «تاس تصمیم گیری اول شخص» چندان دقیق نیست. این تاس ها علاوه بر تعیین بازیکن اول، ترتیب همه بازیکنان را نیز مشخص می کند و هر ترتیب ممکن شانس یکسانی دارد. این ویژگی “انصاف جایگزین” نامیده می شود.
حل مشکل پنج نفره بسیار دشوارتر بود. از نظر ریاضی، واضح بود که چنین مجموعه ای از تاس ها باید وجود داشته باشد، اما یافتن ترتیب صحیح اعداد تقریباً غیرممکن به نظر می رسید.
هارشبرگر می گوید راه های ممکن برای مرتب کردن اعداد بیشتر از اتم های موجود در جهان است. به گفته وی، تعداد ترکیب ها چیزی در حدود “10 به توان 128” (تعداد کل ترکیب های ممکن برای توزیع اعداد بر روی 5 تاس 60 وجهی) است و این تعداد به قدری زیاد است که حتی قدرتمندترین رایانه ها و الگوریتم های امروزی نیز نمی توانند همه آنها را بررسی کنند.
بنابراین، آنها به تنهایی نتوانستند مشکل را با قدرت محاسباتی حل کنند. آنها باید الگوها و تقارن هایی را پیدا می کردند که فضای جستجو را کوچکتر کند.
سالها تلاش ادامه داشت، اما هر راه حلی مشکلات خود را داشت. برخی از تاسها خیلی بزرگ بودند یا چهرههای زیادی برای ساختن نداشتند. هدف هارشبرگر فقط یافتن پاسخ روی کاغذ نبود. او تاسی می خواست که در واقع بتوان آن را نگه داشت، انداخت و حتی برای بازی های رومیزی تولید کرد.
به گفته LiveScience، در اواسط سال 2023، مهندس نرم افزار کانادایی پل مایر به هارشبرگر ایمیل زد. مایر به الگوهای موجود در داده های چهار تاس قبلی نگاه می کرد و برنامه ای نوشته بود که می توانست از این الگوها سوء استفاده کند. او انتظار نداشت که برنامه فوراً پاسخ دهد. اما برنامه موفق بود.
مایر توانست ترتیبی از پنج تاس 60 وجهی پیدا کند که تمام شرایط را برآورده می کرد. هارشبرگر پس از بررسی نتیجه گفت: با خودم گفتم باور نکردنی است. ما مدت ها دنبال این بودیم و حالا جواب آن پیدا شده است.»
دانشگاه آبرن در حال ساختن ساختمان جدیدی برای گروه ریاضیات بود و به دنبال آثار مناسب برای فضای خود بود. پیشنهاد ساخت پنج تاس بزرگ پذیرفته شد.
هارشبرگر ماه ها در کارگاه خود کار کرد و پنج تاس بزرگ درست کرد. هر تاس از نوع متفاوتی از چوب ساخته شده است. کاج، صنوبر، بلوط، گردو و چوب ماهون. این پنج تاس اکنون در ساختمان جدید ریاضی دانشگاه آبرن به نمایش گذاشته شده است.
هدف هارشبرگر فقط نشان دادن یک دستاورد ریاضی نیست. او میخواهد مردم با دیدن این تاسها کنجکاو شوند و بفهمند که چه ایدههای پیچیدهای میتواند پشت یک شی ساده روزمره باشد.
هارشبرگر می گوید: «وقتی مردم این تاس های بزرگ یا کوچک را می بینند، ابتدا به سمت هندسه کشیده می شوند. امیدوارم بعد از آن بگویند: این هم ریاضی و جالب است.» به گفته او، برخی از جذاب ترین مسائل ریاضی آنهایی هستند که توضیح آنها ساده است اما پاسخ دادن به آنها بسیار دشوار است.
